Warum die Topologie der vier Dimensionen so kompliziert ist

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Zusammen gesetzt | Im Allgemeinen können Computersätze immer noch in einer Kugel installiert werden.

Aber nicht nur der vierdimensionale Raum selbst ist anders, sondern auch die symbolische Darstellung. Stellen Sie sich vor, Sie leben in einer fünfdimensionalen Welt und möchten diese vierfach klassifizieren: Welche der Objekte sind zueinander diffeomorph? Welche Oberflächenklassen gibt es? Um dies zu verstehen, ist es einfach, mit unserer gewöhnlichen dreidimensionalen Welt zu beginnen.

Dort können wir zweidimensionale Teile untersuchen, etwa sphärische Oberflächen oder einen Torus. Wie sich herausstellt, fallen alle 2-D (geschlossenen) Formen in drei Kategorien, wie Henri Poincaré bereits 1907 bewies: entweder gleichförmig (diffeomorph) auf der sphärischen Oberfläche, in aufeinanderfolgenden Donuts, oder auf relativen Hindernissen (was etwa die Kleinglas zählt). Diese Geschichte, egal wie schwierig es scheint, ein 2D-Bild zu sein, kann immer noch in einen von drei Teilen umgewandelt werden – und das reibungslos.

Wenn Sie im vierten Bereich bleiben und dreidimensionale Oberflächen betrachten, gibt es acht verschiedene Bereiche: Sie können jede dreidimensionale Oberfläche auf acht Formen reduzieren. William Thurston vermutete dies bereits 1982, aber die sogenannte Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten wurde erst 2003 von Grigori Perelman bewiesen, der auf zufällige Weise auch die Hypothese von Poincaré bewies: Jede dreidimensionale Oberfläche ohne Loch kann in drei Teile zerstört werden. -dimensionale Oberfläche rund. Das Ergebnis zeigt, dass es auch einen Klassifikator für dreidimensionale Karten gibt.

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Wenn Sie sich höheren Sätzen zuwenden und bis fünf, sechs oder höher studieren möchten, wird es schwieriger. Wie lassen sich diese Komplexitäten klassifizieren? Was Mathematiker dafür oft verwenden, ist die Methode namens Whitney: Man kann sich vorstellen, ein Lasso um ein Bild zu werfen und anhand des Verhaltens beim Zusammenziehen herauszufinden, ob es Löcher auf der Oberfläche gibt. Wie bereits erwähnt, kann auf diese Weise eine Kugel von einem Torus unterschieden werden. Während sich jede geschlossene Schleife auf einer Kugel zu einem Punkt zusammenziehen kann, kann ein Torus dies nicht. Dies ist auch sehr nützlich für Karten mit mehr als vier. Wenn Sie ein Lasso befestigen, entsteht eine kreisförmige Fläche, eine Scheibe. Um zu wissen, welche Art von Oberfläche Sie betrachten, sollten Sie alle verschiedenen Arten recherchieren, die auf verschiedenen Discs zu finden sind. Allerdings lassen sich Teile des Lassos zusammensetzen – aus mathematischer Sicht ein Problem. Für n > 4 kann man zusätzliche Größe verwenden, um zwei Scheiben voneinander zu trennen. Dies ähnelt dem Teilen zweier sich schneidender gerader Linien in einer Ebene: Ziehen nach links/rechts oder oben/unten bewirkt nichts. Die einzige Möglichkeit, die vertikalen Linien in der Tiefe zu trennen, besteht darin, eine dritte Karte hinzuzufügen. Dasselbe funktioniert mit fünf Seiten und zwei Doppelscheiben. Auf diese Weise kann die Lasso-Methode verwendet werden, um zu bestimmen, welche Oberflächen der Hand oder mehrere zueinander diffeomorph sind.

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Zwei gerade Linien | Wenn Sie zwei sich schneidende Linien trennen möchten, benötigen Sie ein drittes Raumsegment.

Jetzt haben Sie alle Teile von zwei, drei, fünf und mehr Teilen. Und Sie haben es vielleicht schon erraten: Im vierten Teil wird es wieder kompliziert. Denn wie sich herausstellt, können quadri-diffeomorphe Objekte nicht sortiert werden – diese Welt ist zu chaotisch!

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Auch die vierdimensionale Welt hat ein Geheimnis – laut dem Topologen Ciprian Manolescu das wichtigste Problem der Topologie: Können alle vierdimensionalen Flächen ohne Loch diffeomorph in eine vierdimensionale Kugelfläche deformiert werden? Das ist das Glättekonzept von Poincaré. Die übliche Poincaré-Vermutung wurde bereits für alle Aspekte verwendet n zugelassen, jedoch nur im allgemeinen topologischen Sinne: Auch Verformungen, die Ecken und Kanten hervorrufen, sind zulässig. Topologen mögen es so n-dimensionale Poincaré-Vermutung versagt, wenn nur diffeomorphe Deformation erlaubt ist. Jetzt haben sie eine Antwort für jeden Aspekt des Raums – außer n = 4. Es wird beispielsweise nicht in sieben Richtungen verwendet, es gibt 28 verschiedene Arten von Kugeloberflächen, sogenannte exotische Kugeln: das sind 28 verschiedene Figuren ohne Loch, die sich nur mit Hilfe zu einer ändern. die Ecken und Kanten. Auch für alle anderen Aspekte lässt sich die Anzahl der unterschiedlichen Sphären bestimmen, die teilweise groß sein können. Bisher wurde nichts in vier Dimensionen gefunden, das kein Loch hat und in der Welt nicht diffeomorph ist – aber es war nicht möglich zu beweisen, dass nichts existiert.

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